Um die Ableitung der Funktion \( y = \frac{x}{e^x} \) zu berechnen, verwenden wir die Quotientenregel. Die Quotientenregel besagt:

\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}
\]

Für die Funktion \( y = \frac{x}{e^x} \) gilt:

- \( u(x) = x \) mit \( u'(x) = 1 \)
- \( v(x) = e^x \) mit \( v'(x) = e^x \)

Die Ableitung ist also:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2}
\]

Das kann vereinfacht werden zu:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{e^x - x \cdot e^x}{e^{2x}}
\]

Man kann den Ausdruck weiter vereinfachen, indem man den gemeinsamen Faktor \( e^x \) im Zähler herauszieht:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{e^x(1 - x)}{e^{2x}} = \frac{1 - x}{e^x}
\]

Die Ableitung der Funktion \( y = \frac{x}{e^x} \) lautet also:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - x}{e^x}
\]

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Hier sind 5 verwandte Fragen:
1. Was ist die Quotientenregel und wie wird sie angewendet?
2. Wie beeinflusst die Exponentialfunktion \( e^x \) die Ableitung eines Quotienten?
3. Was sind einige Beispiele für Funktionen, bei denen die Quotientenregel angewendet werden muss?
4. Wie vergleicht sich die Quotientenregel mit der Produktregel?
5. Wie kann die Ableitung \( \frac{dy}{dx} \) interpretiert werden, insbesondere in realen Anwendungen?

**Tipp:** Wenn du den Quotientenregel anwendest, achte darauf, sowohl den Zähler als auch den Nenner korrekt abzuleiten, um Fehler zu vermeiden.

Learn how to calculate the derivative of the function y = x / e^x using the Quotient Rule in calculus. Detailed step-by-step solution with the application of the Quotient Rule and simplification. Suitable for advanced high school calculus students.

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